Mathématiques 1èreD : Dérivée et sens de variation d'une fonction

\(f(x)=2x^3+5x^2-4\)

1. Déterminons son domaine de définition.

   \(D_{f}=\mathbb{R}\) car \(f\) est un polynôme.

2. Déterminons les limites de \(f\) aux bornes de ce domaine.

   \(\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}(2x^3+5x^2-4 )=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}(2x^{3})=+\infty\end{equation*}\)

   \(\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}(2x^3+5x^2-4 )=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}(2x^{3})=-\infty\end{equation*}\)

3. Calculons la dérivée \(g' (x)\) pour tout réel \(x\) de ce domaine.

   \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\), pour tout \(x\in \mathbb{R}\), on a :

   \(f'(x)= 6x^2+10x\)

4. Étudions le signe de \(g' (x)\) suivant les valeurs de \(x\).

   \(x\)	\(-\infty \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \dfrac{-5}{3}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\infty\)
   \(6x^2+10x\)	+	-	+

5. Déduisons les intervalles sur lesquels \(g\) est croissante ou décroissante.

   Pour tout \(x\in ]-\infty ; 0] \bigcup \left[ \dfrac{-5}{3} ; +\infty \right[\) \(f'(x)\geq 0\) donc \(f\) est croissante sur \(]-\infty ; 0]\) et sur \(\left[ \dfrac{-5}{3} ; +\infty \right[\)

   Pour tout \(x \in \left]0; \dfrac{-5}{3} \right[ \) \(f'(x)< 0\) donc \(f\) est strictement décroissante sur \(x \in \left]0; \dfrac{-5}{3} \right[\)