Propriété [Mathématiques 1ère D : Équations avec des radicaux]

Propriété

Soit f et g deux polynômes de degrés ≤ 2.

Résoudre dans $ℝ$ l'équation $\sqrt{f (x)}$ = $\sqrt{g (x)}$ équivaut à résoudre dans $ℝ$ le système d'équations $\begin{equation}\begin{cases}f(x)≥0 \\ g(x) ≥ 0\\f(x) = g(x)\end{cases}\end{equation}$.
Résoudre dans $ℝ$ l'équation $\sqrt{f (x)}$ = ax + b, où a et b sont deux réels donnés équivaut à résoudre dans $ℝ$ l'un des systèmes d'équations $\begin{equation}\begin{cases}f(x)≥0 \\ ax+b ≥ 0\\f(x) = (ax+b)^2\end{cases}\end{equation}$ et $\begin{equation}\begin{cases}ax+b ≥ 0\\f(x) = (ax+b)^2\end{cases}\end{equation}$ car l'égalité f(x) = (ax + b)² signifie que f(x) ≥ 0.

Dans le système $\begin{equation}\begin{cases}f(x)≥0 \\ g(x) ≥ 0\\f(x) = g(x)\end{cases}\end{equation}$, l'ensemble des solutions dans $ℝ$ du système $\begin{equation}\begin{cases}f(x)≥0 \\ g(x) ≥ 0\end{cases}\end{equation}$ est appelé le domaine de validité de l'équation
$\sqrt{f (x)}$ = $\sqrt{g (x)}$ .
Dans le système $\begin{equation}\begin{cases}f(x)≥0 \\ ax+b ≥ 0\\f(x) = (ax+b)^2\end{cases}\end{equation}$, l'ensemble des solutions dans $ℝ$ du système $\begin{equation}\begin{cases}f(x)≥0 \\ ax+b ≥ 0\end{cases}\end{equation}$ est appelé le domaine de validité de l'équation $\sqrt{f (x)}$ = ax + b.