Activité

Question

On considère les polynômes \(f\) et \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(f(x)=x^3-1\) et \(g(x)=x^2-1\)

On pose \(h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}\).

  1. Comment appelle-ton la fraction \(h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}\).

  2. Déterminer le domaine de définition de la \(h\).

  3. Simplifier la fraction \(h(x)\) sur son domaine de définition

Solution

  1. La fraction \(h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}\) est appelée fraction rationnelle.

  2. Déterminons le domaine de définition de  \(h\).

    \(\begin{eqnarray*}h(x) \exists&\Leftrightarrow& g(x)\neq 0\\&\Leftrightarrow & x^{2}-1 \neq 0 \\&\Leftrightarrow & x\neq -1 \ et \ x\neq 1\end{eqnarray*}\)

    \(D_{h}=\mathbb{R}-\left\lbrace -1; 1 \right\rbrace\)

  3. Simplifions la fraction \(h(x)\) sur son domaine de définition

    \(\begin{eqnarray*} \forall x\in\mathbb{R}-\left\lbrace -1; 1 \right\rbrace, h(x)&=& g(x) \\&= & \dfrac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x-1)(x+1)} \\&=& \dfrac{x^2+x+1}{x+1}\end{eqnarray*}\)