Activité
Question
Soit une fonction \(f\) numérique à variable réelle dérivable sur un ensemble \(K\). \(x_{0}\) et \(x\) deux éléments quelconques d'un intervalle \(I\) inclus dans \(K\)
a. On suppose que \(f\) est croissante sur \(I\) et que \(x<x_{0}\).
b. Comparer \(f(x)\) et \(f(x_{0})\) puis étudier le signe du quotient \(\dfrac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\)
c. En déduire le signe de
\(f' (x_{0} )=\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\end{equation*}\)
a. On suppose que \(f\) est décroissante sur \(I\) et que \(x<x_{0}.\)
b. Comparer \(f(x)\) et \(f(x_{0})\) puis étudier le signe du quotient \(\dfrac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\)
c. En déduire le signe de \(f' (x_{0} )=\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\end{equation*}\).
a. On suppose que \(f\) est constante sur \(I\) et que \(x<x_{0} \).
b. Comparer \(f(x)\) et \(f(x_0)\) puis étudier le signe du quotient
\(\dfrac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\)
c. En déduire le signe de \(f' (x_{0} )=\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\end{equation*}\).
Solution
a. Comparons \(f(x)\) et \(f(x_{0})\) puis étudions le signe du quotient \(\dfrac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\).
On a : \(f(x) <f(x_{0})\) car \(f\) croissante sur \(I\) et \(x<x_{0}\), donc \(\dfrac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}>0\) car \(f(x)-f(x_{0}) <0\) et \(x-x_{0}<0\).
b. Déduisons le signe de \(f' (x_{0} )=\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\end{equation*}\).
Puisque pour tous \(x\) et \(x_{0}\) de \(I\), \(\dfrac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}>0\) on en déduit que
\(f' (x_{0} )=\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\end{equation*}>0\).
a. Comparons \(f(x)\) et \(f(x_{0})\) puis étudions le signe du quotient \(\dfrac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\) ).
On a : \(f(x) >f(x_{0})\) car \(f\) décroissante sur \(I\) et \(x<x_{0}\), donc \(\dfrac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}<0\) car \(f(x)-f(x_{0}) >0\) et \(x-x_{0}<0.\)
b. Déduisons le signe de\(f' (x_{0} )=\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\end{equation*}>0\).
Puisque pour tous \(x\) et \(x_{0}\) de \(I\), \(\dfrac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}<0\) on en déduit que
\(f' (x_{0} )=\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\end{equation*}<0\).
a. Comparons \(f(x)\) et \(f(x_{0})\) puis étudions le signe du quotient \(\dfrac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\).
On a : \(f(x)=f(x_{0})\) car \(f\) constante sur\( I\) et \(x<x_{0}\), donc \(\dfrac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} )=0\) car \(f(x)-f(x_{0} )=0\) et \(x-x_{0}<0.\)
b. Déduisons le signe de \(f' (x_{0} )=\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\end{equation*}\).
Puisque pour tous \(x\) et \(x_{0}\) de \(I\), \(\dfrac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=0\) on en déduit que
\(f' (x_{0} )=\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\end{equation*}=0\).