Exercice d'application n°2
Question
On considère les fractions rationnelles \(f\) et \(h\) définies par :
\(f(x)=\dfrac{x^2-x-6}{9-x^2} \)et
\(h(x)=\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{3}{x+1}-\dfrac{2x}{x^{2}-1}\).
Déterminer le domaine de définition de \(f\) et \(g\).
Simplifier \(f\) et \(h\) sur leur domaine de définition.
Solution
Déterminons le domaine de définition de \(f\) et \(g\).
\(\begin{eqnarray*}f(x) \exists&\Leftrightarrow& 9-x^{2}\neq 0\\&\Leftrightarrow & (3-x)(3+x) \neq 0 \\&\Leftrightarrow & x\neq -3 \ et \ x\neq 3\end{eqnarray*}\)
\(D_{f}=\mathbb{R}-\left\lbrace -3; 3 \right\rbrace\)
\(\begin{eqnarray*}h(x) \exists&\Leftrightarrow& x+1\neq 0 \ et \ x-1 \neq 0 \\ &\Leftrightarrow & x\neq -1 \ et \ x\neq 1 \end{eqnarray*}\)
\(D_{f}=\mathbb{R}-\left\lbrace -1; 1 \right\rbrace\)
Simplifions \(f\) et \(h\) sur leur domaine de définition.,
\(\begin{eqnarray*}\forall x\in \mathbb{R}-\left\lbrace -3; 3 \right\rbrace ,f(x)&= & -\dfrac{(x-3)(x+2)}{(x-3)(x+3)} \\&=& -\dfrac{x+2}{x+3}\end{eqnarray*}\)
\(\begin{eqnarray*}\forall x\in\mathbb{R}-\left\lbrace -1; 1 \right\rbrace, h(x)&= & -\dfrac{x+1+3(x-1)-2x}{x^2-1} \\&=& -\dfrac{2(x-1)}{(x-1)(x+1)}\\&=& \dfrac{2}{x+1}\end{eqnarray*}\)