Question
Quand dit-on qu'une fonction \(f\) définie de \(A\) vers \(B\) réalise une bijection de \(A\) vers \(B \)?
On considère la figure ci-dessous :
Déterminer les variations de la fonction \(f\) sur \([-2;2]\).
Déterminer l'image de l'intervalle \([-2;2]\).
Résoudre graphiquement l'équation \(f(x)=2\). \(f\) est-elle bijective sur \([-2;2]\).
Étudier la continuité de \(f\) sur \([-2 ; 2]\).
Solution
Une fonction \(f\) définie de \(A\) vers \(B\) réalise une bijective de \(A\) vers \(B\) lorsque pour tout \(k∈B\), l'équation \(f(x)=k\) admet une et une seule solution.
Déterminons les variations de la fonction \(f\) sur \([-2;2]\):
\(f\) est croissante sur l'intervalle \([-2; -1,5]\).
\(f\) est décroissante sur l'intervalle \([-1,5;2]\).
Déterminons l'image de l'intervalle \([-2;2]\).
\(f([-2;2])=[-2;4]\).
Résolvons graphiquement l'équation \(f(x)=2\).
\(S_{\mathbb{R}}=\left\lbrace -1,6; 0,7; 3,6 \right\rbrace\). \(f\) n'est pas bijective sur \([-2;2]\).
Etudions la continuité de \(f\) sur \([-2;2]\).
\(f\) est continue sur \([-2;2]\).