Activité
Soit a ϵ
, f : x⟼ln(ax)
Question
a) Pourquoi f est-elle dérivable sur ]0 ;+∞[ . Calculer f '(x)
a) f est dérivable en tant que composée de fonctions dérivables (u : x ⟼ax ; ln : x ⟼lnx)
f (x) = (ln o u) (x)=ln(u(x))
f '(x) = u'(x)×ln'(u(x))= 
Question
b) Montrer qu'il existe un réel k tel que pour tout x ϵ ]0 ; +∞[, ln(ax) = ln x +k.
b)Montrons qu'il existe un réel k tel que pour tout x ϵ ]0 ; +∞[, ln(ax) = ln x +k.
On a f '(x)= ln'(a x)= 
donc f est une primitive de
. Par conséquent il existe un réel k tel que pour tout x ϵ ]0 ;+∞[ , f(x)=ln(ax)=lnx+k
Question
c)En prenant x=1 ; en déduire que ln (a x) = ln a + ln x
C) En prenant x=1 ; déduisons en que ln (a x) = ln a + ln x
, ln(a x)=ln x+ k ⟹ ln(a )=ln 1+ k ⟹lna =0+k ⟹ln a=k
donc ln(a x )=ln x+k⟹ln(a x)=ln x +ln a
Question
d) En déduire que ln(ab) = lna + lnb
d)Déduisons-en que ln(ab) = lna + lnb
ln(a x)=ln x +ln a
en prenant x=b on a : ln(ab) = lna + lnb
Question
e) En posant a=
; exprimer ln(
) en fonction de ln(b) puis ln(
) en fonction de lna et lnb.
e)En posant a=
; exprimons ln(
) en fonction de ln(b) puis ln(
) en fonction de lna et lnb.
On a ln(ab)=ln a +ln b ; si a=
;ln1=ln
+lnb=0 donc ln
= -lnb
ln (
)=ln(ax
)=lna+ ln
=lna-lnb d'où ln (
)=ln a – ln b
