Activité
Question
Soit \(z\) un nombre complexe de module 1 et d'argument \(\theta\) et soit \(n∈\mathbb{Z}^{*}\).
a. Donner la forme trigonométrique de \(z\).
b. Calculer le module et un argument de \(z^{n}\).
c. En déduire la forme trigonométrique de \(z^{n}\)
Soit θ un réel, on pose :
\(e^{i\theta}=cos(\theta)+i sin(\theta)\) (1)
\(e^{-i\theta}=cos(\theta)-i sin(\theta)\) (2)
a. Calculer (1)+(2) puis en déduire \(cos(θ)\) en fonction de \(e^{i\theta}\) et \(e^{-i\theta}\).
b. Calculer (1)-(2) puis en déduire \(cos(θ)\) en fonction de \(e^{i\theta}\) et \(e^{-i\theta}\).
Solution
Soit \(z\) un nombre complexe de module \(1\) et d'argument \(θ\) et soit \(n∈Z^{*}\).
a. La forme trigonométrique de \(z\) est \(z=cos(θ)+isin(θ).\)
b. Le module de \(z^{n}\) est \(|z^{n} |=|z|^{n}=1^{n}=1\).
un argument de \(z^{n}\) s'écrit \(arg(z^{n} )=n.arg(z)=n θ\)
d. La forme trigonométrique de \(z^{n}\) est \(z^{n}=cos(nθ)+isin(nθ)\).
Remarque1 :
On en déduit que \(( cos(θ)+isin(θ))^{n}=cos(nθ)+isin(nθ)\).
Cette formule est attribuée à Moivre.
2. Soit θ un réel, on pose :
\(e^{i\theta}=cos(\theta)+i sin(\theta)\) (1)
\(e^{-i\theta}=cos(\theta)-i sin(\theta)\) (2)
a. Calculons (1)+(2) puis déduisons \(cos(θ)\) en fonction de \(e^{i\theta} \) et \(e^{-i\theta}\)
(1)+(2)\(⟺\)\(2 cos(θ)=e^{i\theta}+e^{-i\theta}\)
\(\ \ \ \ \ \ \ ⟺\)\(cos(θ)= \dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2}\)
b. Calculons (1)-(2) puis déduisons \(sin(θ)\) en fonction de \(e^{i\theta}\) et \(e^{-i\theta}\).
(1)-(2) \(⟺\) \(2i sin(θ)=e^{i\theta}-e^{-i\theta}\)
\(\ \ \ \ \ \ \ ⟺\) \(sin(θ)=\dfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\)
Remarque2 :
Ces formules sont appelées formules d'Euler.