Exercice 2
Question
Dans la figure ci-dessous, ABC est un triangle équilatérale; BEC est un triangle rectangle en E et CDB est un triangle rectangle en D. Les droites (BC) et (DE) sont parallèles.
a) Calculer les mesures des angles \(\widehat{ABC}\), \(\widehat{CAB}\) et \(\widehat{BCA}\).
b) Justifier l'égalité \(\widehat{DIB}=\widehat{EIC}\).
c) Calculer la mesure de l'angle \(\widehat{EBC}\). En déduire la mesure de l'angle \(\widehat{DBE}\).
d) Trouver les mesures des angles \(\widehat{DIB}\) et \(\widehat{EIC}\).
Solution
Solution
a) Calculons les mesures des angles \(\widehat{ABC}\), \(\widehat{CAB}\) et \(\widehat{BCA}\).
Le triangle ABC est un triangle équilatérale, donc \(\widehat{ABC}=\widehat{CAB}=\widehat{BCA}\).
Dans un triangle la somme des trois angles est de 180°.
Alors \(\widehat{ABC}=\widehat{CAB}=\widehat{BCA}=\frac{180°}{3}=60°\).
b) Justifions que \(\widehat{DIB}=\widehat{EIC}\).
Les angles \(\widehat{DIB}\) et \(\widehat{EIC}\) sont des angles opposés par le sommet. Or deux angle opposés par le sommet ont la même mesure. Donc \(\widehat{DIB}=\widehat{EIC}\).
c) Calculons la mesure de l'angle \(\widehat{EBC}\) et déduisons-en la mesure de l'angle \(\widehat{DBE}\).
Le triangle BEC est rectangle en E, \(\widehat{BEC}=90°\) et \(\widehat{BCA}=\widehat{BCE}=60°\).
Donc \(\widehat{EBC}=180°-\widehat{BEC}-\widehat{BAC}\).
\(\widehat{EBC}=180°-90°-60°\).
\(\widehat{EBC}=30°\).
On en déduit que \(\widehat{DBE}=\widehat{ABC}-\widehat{BEC}\).
\(\widehat{DBE}=60°-30°\).
\(\widehat{DBE}=30°\).
d) Trouvons les mesures des angles \(\widehat{DIB}\) et \(\widehat{EIC}\).
Le triangle BID est rectangle en D. On a \(\widehat{IDB}=\widehat{CDB}=90°\) et \(\widehat{DBE}=30°\).
Donc \(\widehat{DIB}=180°-\widehat{IDB}-\widehat{DBE}\).
\(\widehat{DIB}=180°-90°-30°\).
\(\widehat{DIB}=60°\).
Comme \(\widehat{EIC}=\widehat{DIB}\), alors \(\widehat{EIC}=60°\).