Exercice 1
Question
Résoudre dans \(\mathbb{R}\), les inéquations suivantes :
\(2x+1 < 4\); \(2x-4\leqslant 5x+12\); \(\frac{(3x-1)}{4}\leqslant\frac{(-x+3)}{2}\); \(5x + 7 > 0\);
\(4x + 7 \leqslant 2x – 3\); \(3x – 4 \leqslant 7x + 7\).
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les inéquations suivantes, puis représenter l'ensemble des solutions sur une droite graduée :
\(5x-8+4x\leqslant 7x+12\) ; \(x- 5 \geqslant -3x -1\); \(3x-2 <5x+1\).
Solution
Solution
1) Résolvons dans \(\mathbb{R}\)
\(2x+1 < 4\) \(\Longleftrightarrow\)
\(2x < 4-1\) \(\Longleftrightarrow\)
\(2x < 3\) \(\Longleftrightarrow\).
\(x < \frac{3}{2}\)
\(S_{\mathbb{R}}=\left]-\infty ;\frac{3}{2} \right[\).
\(2x-4\leqslant 5x+12\) \(\Longleftrightarrow\)
\(2x-5x\leqslant 12+4\) \(\Longleftrightarrow\)
\(-3x\leqslant 16\)
\(3x\geqslant -16\)
\(x\geqslant -\frac{16}{3}\).
\(S_{\mathbb{R}}=\left[-\frac{16}{3} ; +\infty \right[\).
\(\frac{(3x-1)}{4}\leqslant\frac{(-x+3)}{2}\) \(\Longleftrightarrow\)
\(\frac{(3x-1)}{4}\leqslant\frac{(-2x+6)}{4}\) \(\Longleftrightarrow\)
\(3x-1\leqslant -2x+6\) \(\Longleftrightarrow\)
\(3x+2x\leqslant 6+1\) \(\Longleftrightarrow\)
\(5x\leqslant 7\) \(\Longleftrightarrow\)
\(x\leqslant \frac{7}{5}\).
\(S_{\mathbb{R}}=\left]-\infty ; \frac{7}{5}\right]\).
\(5x + 7 > 0\) \(\Longleftrightarrow\)
\(5x > -7\) \(\Longleftrightarrow\)
\(x > \frac{-7}{5}\) \(\Longleftrightarrow\).
\(S_{\mathbb{R}}=\left]\frac{-7}{5} ; +\infty \right[\).
\(4x + 7 \leqslant 2x – 3\) \(\Longleftrightarrow\)
\(4x-2x \leqslant -3-7\) \(\Longleftrightarrow\)
\(2x \leqslant -10\) \(\Longleftrightarrow\)
\(x \leqslant \frac{-10}{2}\) \(\Longleftrightarrow\)
\(x \leqslant -5\).
\(S_{\mathbb{R}}=\left]-\infty ; -5 \right]\).
\(3x – 4 \leqslant 7x + 7\) \(\Longleftrightarrow\)
\(3x-7x \leqslant 7+4\) .\(\Longleftrightarrow\).
\(-4x \leqslant 11\) \(\Longleftrightarrow\)
\(4x \geqslant -11\) \(\Longleftrightarrow\)
\(x \geqslant -\frac{11}{4}\) \(\Longleftrightarrow\)
\(S_{\mathbb{R}}=\left[-\frac{11}{4} ; +\infty \right[\).
2) Résolvons dans \(\mathbb{R}\), puis représentons l'ensemble des solutions sur une droite graduée :
\(7x + 8 \leqslant 5x + 12\) \(\Longleftrightarrow\)
\(7x-5x \leqslant 12-8\) \(\Longleftrightarrow\)
\(2x \leqslant 4\) \(\Longleftrightarrow\)
\(x \leqslant \frac{4}{2}\) \(\Longleftrightarrow\)
\(x \leqslant 2\).
\(S_{\mathbb{R}}=\left]-\infty ; 2 \right]\).
\(x + 5 \geqslant – 3x+1\) \(\Longleftrightarrow\)
\(x+3x \geqslant 1-5\) \(\Longleftrightarrow\)
\(4x \geqslant -4\) \(\Longleftrightarrow\)
\(x \geqslant \frac{-4}{4}\) \(\Longleftrightarrow\)
\(x \geqslant -1\).
\(S_{\mathbb{R}}=\left[-1 ; +\infty \right[\).
\(3x-2 < 5x+1\) \(\Longleftrightarrow\)
\(3x-5x < 1+2\) \(\Longleftrightarrow\)
\(-2x < 3\) \(\Longleftrightarrow\)
\(-x <\frac{3}{2}\) \(\Longleftrightarrow\)
\(x>-\frac{3}{2}\) \(\Longleftrightarrow\).
\(S_{\mathbb{R}}=\left]-\frac{3}{2} ; +\infty \right[\).
