Activité d'introduction

Question

Construire un carré \(ABCD\) dont le côté mesure \(1~cm\).

  1. Construire les symétriques respectifs \(A^{'}\) et \(C^{'}\) des côtés \(A\) et \(C\). Donner la nature du quadrilatère \(ACA^{'}C^{'}\)?

  2. Calculer l'aire \(\mathcal{S}_{(ABC)}\) du triangle \(ABC\).

  3. Exprimer l'aire \(\mathcal{A}\) du quadrilatère \(ACA^{'}C^{'}\) en fonction de l'aire du triangle \(ABC\). En déduire sa valeur.

  4. Exprimer l'aire du quadrilatère \(ACA^{'}C^{'}\) en fonction du côté \(AC\). En déduire la valeur de \({AC}^{2}\).

  5. Que peut-on dire de la mesure \(a\) du coté \(AC\).

Solution

Solution

Construisons le carré \(ABCD\)de côté \(1~cm\).

  1. Le point \(B\) est le milieu des segments \(AA^{'}\) et \(CC^{'}\). Comme \(AC=A^{'}C^{'}\), alors le quadrilatère \(ACA^{'}C^{'}\) est un carré de côté \(AC\).

  2. Calculons l'aire \(S_{(ABC)}\) du triangle ABC est :

    \(S_{(ABC)}=\frac{AB\times AC}{2}\)

    \(S_{(ABC)}=\frac{1\times 1}{2}~cm^{2}\)

    \(S_{(ABC)}=\frac{1}{2}~cm^{2}\).

  3. L'aire \(\mathcal{A}\) quadrilatère \(ACA^{'}C^{'}\) est :

    \(\mathcal{A}=4\times S_{(ABC)}\).

    \(\mathcal{A}=4\times \frac{1}{2}~cm^{2}=2~cm^{2}\).

  4. On a \(\mathcal{A}=AC\times AC={AC}^{2}\). Comme \(\mathcal{A}=2\); alors \({AC}^{2}=2\).

  5. La mesure \(a\) du côté \(AC\) est le réel \(a\) dont le carré est égale à \(2\). Une mesure à la règle donne une valeur de \(a\) comprise entre 1,1 et 1,2.