Activité
Question
On considère les figures ci-dessus :
Dans chacun des cas ci-dessus :
a. Étudier la continuité de la fonction \(f\) sur l'intervalle \([a;b]\).
b. Déterminer les variations de la fonction \(f\) sur l'intervalle \([a;b]\).
c. Déterminer graphiquement \(f([a;b])\).
d. Déterminer graphiquement le nombre (maximal et minimal) possible de solutions de l'équation \(f(x)=k,k∈f([a;b])\).
Dans quel cas, \(f\) réalise-t-elle une bijection de \([a;b]\) vers un intervalle \(J\) à préciser ? En déduire dans ce cas l'ensemble de départ et l'ensemble d'arrivée de sa bijection réciproque \(f^{-1}\).
Solution
a. Étudions dans chaque cas la continuité de \(f\) sur l'intervalle \([a;b]\).
1er cas : La fonction \(f\) est continue sur l'intervalle \([a;b]\).
2e cas : La fonction \(f\) est continue sur l'intervalle \([a;b]\).
b. Déterminons dans chaque cas les variations de la fonction \(f\) sur l'intervalle \([a;b]\).
1er cas : La fonction \(f\) est croissante sur l'intervalle \([a;b]\).
2e cas :
La fonction \(f\) est croissante sur \([a;e]\) et sur \([d;b]\)
La fonction \(f\) est décroissante sur \([e;d]\)
c. Déterminons graphiquement \(f([a;b])\).
\(f([a;b])=[f(a);f(b)]\).
d. Déterminons graphiquement le nombre (maximal et minimal) possible de solutions de l'équation \(f(x)=k,k∈f([a;b])\).
1er cas : Pour tout \(k∈f([a;b])\), l'équation \(f(x)=k\) admet une unique solution.
2e cas : Pour tout \(k∈f([a;b])\), l'équation \(f(x)=k\) admet un nombre minimal de solution égale à 1 et un nombre maximal égal à 3.
Dans le 1er cas, \(f\) réalise une bijection de \([a;b]\) vers un intervalle \(J=[f(a);f(b)]\).
La bijection réciproque \(f^{-1}\) est définie de \([f(a);f(b)]\) vers \([a;b]\).