Je retiens
Fondamental :
Théorème de la bijection
Soit \(f\) une fonction continue et strictement monotone sur \([a;b]\) (c'est à dire si \(f^{'} (x)>0\) pour tout \(x\) de \([a;b]\) ou si \(f^{'} (x)<0\) pour tout \(x\) de \([a;b]\) ), alors :
Pour tout réel \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), l'équation \(f(x)=k\) possède une unique solution \(c\) dans \([a;b]\) .
En particulier lorsque \(f(a)×f(b)<0\), l'équation \(f(x)=0\) possède une unique solution \(α\) dans \([a;b].\)
La fonction \(f\) réalise en fait une bijection de \([a;b]\) sur \([f(a);f(b)]\) si \(f\) est croissante (ou \([f(b);f(a)]\) si \(f\) est décroissante).
Remarque :
On admet que ce théorème se prolonge au cas où \(f\) est définie sur un intervalle ouvert \(]a ; b[\) (\(a\) et \(b\) finis ou infinis) ou semi-ouvert ( \(]a ; b]\) ou\( [a ; b[\)), dans le cas où les limites de \(f\) aux bornes de l'intervalle sont connues.
Ce théorème est utilisé pour prouver l'existence et l'unicité d'une solution d'une équation du type \(f(x)=k\).
Fondamental :
Théorème de la bijection réciproque:
Toute fonction continue et strictement monotone sur un intervalle \(I\) est une bijection de \(I\) sur un intervalle \(J=f(I)\). La bijection réciproque \(f^{-1}\) est aussi continue sur \(J\) et est monotone et de même sens de variation que \(f\). De plus, les courbes \((C_{f} )\) et \((C_{f^{-1} } )\) sont symétriques par rapport à la droite d'équation \(y=x\) dans un repère orthonormé.