Exercice d'application n°1
Question
La courbe ci-dessous est la représentation graphique de la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\).
En vous aidant de cette courbe répondre aux questions suivantes :
Justifier que \(f\) réalise une bijection de \([0;2]\) vers un intervalle \(J\) à préciser.
Justifier que la restriction de \(f\) à l'intervalle \(]-\infty; -2]\) admet une bijection réciproque \(f^{-1}\) dont on précisera l'ensemble de définition.
L'équation \(f(x)=0\) admet-elle une solution unique α sur \(]-2;0[ \). Justifier votre réponse.
Solution
\(f\) est continue et strictement décroissante de \([0;2]\). Donc elle réalise une bijection de \([0;2]\) vers un intervalle \(J=f([0;2])=[-2;2]\).
La restriction de \(f\) à l'intervalle \(]-∞; -2]\) est continue et strictement décroissante sur \(]-∞; -2]\). Par conséquent elle admet une bijection réciproque \(f^{-1}\) dont l'ensemble de définition est \(f(]-∞; -2])=[-2; +∞[\) \((f^{-1}: [-2; +∞[→]-∞; -2])\).
Oui, l'équation \(f(x)=0\) admet une solution unique \(α\) sur \(]-2;0[\) .
Justification : \(f\) est continue et strictement croissante de \(]-2;0[\) vers \(f(]-2;0[)=]-2;2[ \ or \ 0∈]-2;2[.\) Donc l'équation \(f(x)=0\) admet une unique solution \(α\) sur \(]-2;0[\).