Exercice d'application n°2
Question
Soit la fonction \(f\) définie par \(f(x)=\dfrac{2x-1}{x-3}\).
Étudier les variations de \(f.\)
Soit \(g\) la restriction de \(f\) sur \(]-∞;3[.\)
Montrer que \(g\) est une bijection de \(]-∞; 3[\) vers un intervalle \(J\) à déterminer.
En déduire que \(g\) admet une bijection réciproque \(g^{-1}\) ; préciser son ensemble de définition et sens de variation.
Montrer comment tracer la courbe représentative de \(g^{-1}\) à partir de celle de \(f\).
Solution
Soit la fonction \(f\) définie par \(f(x)=\dfrac{2x-1}{x-3}\).
Etudions les variations de \(f\) .
\(D_{f}=\mathbb{R}-\left\lbrace 3 \right\rbrace .\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\dfrac{2x-1}{x-3}=2 \);
\(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{2x-1}{x-3}=2\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow 3^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow 3^{-}}\dfrac{2x-1}{x-3}=-\infty\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow 3^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow 3^{+}}\dfrac{2x-1}{x-3}=+\infty\)
\(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}-\left\lbrace 3 \right\rbrace \)et pour tout \(x∈\mathbb{R}-\left\lbrace 3 \right\rbrace \), \(f^{'} (x)=\dfrac{-5}{(x-3)^{2}}\) .
\(∀ x∈\mathbb{R}-\left\lbrace 3 \right\rbrace ,\dfrac{-5}{(x-3)^{2}} <0\) donc \(f\) est strictement décroissante sur \(]-∞;3[ \ et \ ]3; +∞[\).
Soit \(g\) la restriction de \(f\) sur \(]-∞;3[\).
Montrons que \(g\) est une bijection de \(]-∞;3[\) vers un intervalle \(J\) à déterminer.
\(g\) continue et strictement décroissante sur \(]-∞;3[\) donc \(g\) réalise une bijection de \(]-∞;3[ \ vers \ J=g(-∞;3[)=]-∞;2[.\)
Déduisons que \(g\) admet une bijection réciproque \(g^{-1}\) puis précisons son ensemble de définition et son sens de variation.
D'après 2) \(g\) réalise une bijection de \(]-∞;3[\) vers \(]-∞;2[.\)
On en déduit alors que \(g\) admet une bijection réciproque \(g^{-1}\) définie sur \(]-∞;2[\) et que \(g^{-1}\) est strictement décroissante sur \(]-∞;2[\) car \(g\) et \(g^{-1}\) on le sens de variation.
Montrons comment tracer la courbe représentative de \(g^{-1}\) à partir de celle de \(f\).
On obtient la courbe représentative de \(g^{-1}\) en construisant le symétrique de celle de \(f\) sur \(]-∞; 3[\) par rapport à la droite d'équation \(y=x\) (c'est-à-dire la première bissectrice)