Mathématiques TleD : Formules de Moivre et formule d'Euler

On a :

\(\begin{eqnarray*}& & cos(3x)+i sin(3x)=\left(cos(x)+i sin(x) \right)^{3} \\&\Longleftrightarrow & cos(3x) +i sin(3x)=cos^{3}(3x)+3i cos^{2}(x)sin(x)- \\ & & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  3cos(x)sin^{2}(x)-i sin^{3}(x)\end{eqnarray*}\)

Par identification, on obtient :

\(\begin{equation*}\begin{cases}cos(3x)=cos^{3}(x)-3cos(x)sin^{2}(x)\\[0.4cm]sin(3x)=3cos^{2}(x)sin(x)-sin^{3}(x)\end{cases}\end{equation*}\)

ce qui équivaut à

\(\begin{equation*}\begin{cases}cos(3x)=cos^{3}(x)-3cos(x)(1-cos^{2}(x))\\[0.4cm]sin(3x)=3(1-sin^{2}(x))sin(x)-sin^{3}(x)\end{cases}\end{equation*}\)

soit

\(\begin{equation}\begin{cases}cos(3x)=4cos^{3}(x)-3cos(x)\\[0.4cm]sin(3x)=sin(x)-4sin^{3}(x)\end{cases}\end{equation}\)