Mathématiques TleD : Formules de Moivre et formule d'Euler

Linéarisation de B

On a : \(sin(x)=\dfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\)

Donc :

\(\begin{eqnarray*}B &=& sin^{3}(x) \\ &=& \left(\dfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} \right)^{3}\\&=& \left(\dfrac{1}{2i} \right)^{3}\left(e^{ix}-e^{ix} \right)^{3} \\&=& \left(\dfrac{1}{2i} \right)^{3}\left(e^{3ix}-3e^{ix}+3e^{-ix}-e^{-3ix} \right) \\&=& \dfrac{-1}{4}\left(\dfrac{e^{i3x}-e^{-i3x}}{2i}-3\dfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} \right) \\&=& -\dfrac{1}{4}sin(3x)+\dfrac{3}{4}sin(x).\end{eqnarray*}\)

Linéarisation de C

On a :

\(\begin{eqnarray*}C&=& cos^{3}(x).sin(2x)\\&=& \left( \dfrac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\right)^{3}\left( \dfrac{e^{2ix}-e^{-2ix}}{2i}\right) \\&=& \left(\dfrac{1}{16i} \right)\left(e^{3ix}+3e^{ix}+3e^{-ix}+e^{-3ix} \right)\left( e^{2ix}-e^{-2ix}\right) \\&=& \left(\dfrac{1}{16i} \right)\left(e^{5ix}+3e^{3ix}+3e^{ix}+e^{-ix} -e^{-ix}+3e^{-ix}-3e^{-3ix}-e^{-5ix}\right) \\&=& \dfrac{1}{8}\left(\dfrac{e^{5ix}-e^{-5ix}}{2i}+3\dfrac{e^{3ix}-e^{-3ix}}{2i}+2\dfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} \right) \\&=& \dfrac{1}{8}sin(5x)+\dfrac{3}{8}sin(3x)+\dfrac{1}{4}sin(x).\end{eqnarray*}\)