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Application du principe fondamental de la dynamique

Un pendule est constitué par un fil OA de longueur L=1,0 m auquel est fixé en A, une petite bille d'acier de masse m=200 g. Le pendule est suspendu au plafond d'une automobile.

Question

Détermine l'angle d'inclinaison d'un pendule par rapport à la verticale dans les cas suivants :

  1. L'automobile démarre avec une accélération constante de \(3 \:m.s^{-2}\).

  2. L'automobile est animée d'un mouvement rectiligne uniforme.

  3. Calculer la tension du fil dans chaque cas ci-dessus

Solution

Méthode

Système : bille

Référentiel : référentiel terrestre considéré comme galiléen.

Inventaire des forces : la bille est soumise à son poids  P ⃗ widevec {P} et à la tension  T ⃗ widevec {T} du fil.

  1. La bille est animée d'un mouvement uniformément accélérée. La deuxième loi de Newton permet d'écrire : P ⃗ + T ⃗ = m ⋅ a ⃗ {vec P} + vec T = m cdot vec a . Cette relation nous permet de construire la figure ci-contre.

    Les relations trigonométriques dans un triangle rectangle permettent d'écrire :

    tan ( α ) = m . a m . g = a g tan ( α ) = 3 9,8 = 0,3061 α = 17,02 ° tan(%alpha) = {m.a} over {m.g} = {a} over {g} newline tan(%alpha) = {3} over {9,8}=0,3061 newline {%alpha} = 17,02°

Méthode

L'inclinaison du fil ne dépend pas de la masse de la bille et le fil s'inclinerait suivant le même angle si on lui accrochait tout autre objet.

Méthode

2. Si la bille est animée d'un mouvement rectiligne uniforme, selon le principe d’inertie elle est pseudo-isolée : P ⃗ + T ⃗ = 0 ⃗ {vec P} + vec T = vec 0 . L'utilisation du principe fondamental de la dynamique donne le même résultat car l'accélération est nulle.

P ⃗ widevec {P} = - T ⃗ widevec {T}

T ⃗ widevec {T} est alors vertical comme P ⃗ widevec {P} et α = 0.

MéthodeCalcul des tensions

3. Si la bille est animée d'un mouvement rectiligne uniformément accéléré, une relation dans un tringle rectangle sur la figure permet d'écrire :

cos ( α ) = P T T = P cos ( α ) = m . g cos ( α ) T = 0,2 × 9,8 cos ( 17,02 ° ) T = 2,05 N cos(%alpha) = {P} over {T} newline {T} = {P} over {cos(%alpha)}={m.g} over {cos(%alpha)} newline T={0,2 times 9,8} over {cos(17,02°)} newline T=2,05 N

On peut aussi écrire :

sin ( α ) = m . a T T = m . a sin ( α ) T = 0,2 × 3 sin ( 17,02 ° ) T = 2,05 N sin(%alpha) = {m.a} over {T} newline {T} = {m.a} over {sin(%alpha)} newline T={0,2 times 3} over {sin(17,02°)} newline T = 2,05 N

Méthode

Si, la bille est animée d'un mouvement rectiligne uniforme, P ⃗ + T ⃗ = 0 ⃗ {vec P} + vec T = vec 0 et P ⃗ widevec {P} = - T ⃗ widevec {T} .

\(T = P=  m.g\) ; \(T = 0,2 \times 9,8 = 1,96 \:N\).