Physique Tles C, D, E : Mouvement circulaire uniforme

Considérons un point \(M\) qui se déplace sur un cercle de centre O dans un repère \((O ;\vec i ;\vec j)\).

Les relations entre les coordonnées cartésiennes et les coordonnées polaires sont :

$\{\begin{array}{c}x=R\cdot \cos (\mathrm{\theta })\\ y=R\cdot \sin (\mathrm{\theta })\end{array}$

La vitesse instantanée \(v\) est la vitesse moyenne \(v_m=\frac{R({\theta}_2-{\theta}_2)}{t_2-t_1}\) calculée pour \(t_2\) très proche de \(t_1\): $v=\underset{t_2\to t_1}{\lim }\frac{R({\mathrm{\theta }}_2-{\mathrm{\theta }}_1)}{t_2-t_1}=R\underset{t_2\to t_1}{\lim }\frac{({\mathrm{\theta }}_2-{\mathrm{\theta }}_1)}{t_2-t_1}$

La vitesse angulaire instantanée est : $\omega =\underset{t_2\to t_1}{\lim }\frac{({\mathrm{\theta }}_2-{\mathrm{\theta }}_1)}{t_2-t_1}$

Par définition de la dérivée, $\mathrm{\omega }=\frac{d\mathrm{\theta }}{\mathit{dt}}$.

La vitesse instantanée est alors : \(v=R\omega\).

Pour un mouvement circulaire uniforme, \(v\) est une constante. \(\omega\) est donc aussi une constante : \(\omega=\omega_0=\frac{d\theta}{dt}\); \(\omega_0\) étant une constante.

\(\theta\) est une primitive de \(\omega_0\): \(\theta=\omega_0 \cdot t+C\) avec \(C\), une constante.

Supposont qu'à \(t=0\), on ait \(\theta=\theta_0\). On alors \(C=\theta_0\) et finalement ; \(\theta={\omega_0}t+\theta_0\)

Ainsi les équations horaires d'un mouvement circulaire uniforme sont :

$\{\begin{array}{c}x(t)=R\cdot \cos ({\mathrm{\omega }}_0\cdot t+{\mathrm{\theta }}_0)\\ y(t)=R\cdot \sin ({\mathrm{\omega }}_0\cdot t+{\mathrm{\theta }}_0)\end{array}$

Si à \(t=0\), le point \(M\) est sur l'axe Ox, on a \(\theta_0=0\).