Le pendule élastique horizontal

La période des oscillations d'un pendule élastique est indépendante de l'amplitude des oscillations. On l'appelle période propre notée T₀.

La période d'un pendule élastique croit avec la masse et décroît avec la constante de raideur du ressort

Les dimensions des 3 grandeurs fondamentales de la mécanique.

Longueur : [L]

Temps : [T]

Masse : [M]

Un coefficient de proportionnalité n'a pas de dimension.

Dimension de la vitesse :

v=l/t ; soit : [V]=[L]/[T] =[L]∙[T]^-1

Dimension de l'accélération :

a=v/t⟺ [A]=[V]/[T] =([L]∙[T]^-1)/[T] =[L]∙[T]^-2

Dimension de la force :

F=ma⟺[F]=[M]∙[A]=[M]∙[L]∙[T]^-2

La période propre T₀ d'un pendule élastique est fonction de sa masse et de la constante de raideur k. On pose donc : T₀ =λm^α k^β

F=kx ⇒k=F/x ⟺ [k]=[F]/[L] =([M][L] [T]^-2)/[L] =[M] [T]^-2

On aura donc pour la période propre :

[T₀ ]=[M]^α ([M] [T]^-2)^β=[M]^(α+β) [T]^-2β

Soit : (α+β=0 et -2β=1)⇒ ( α =-β et β=(-1)/2)⇒α=1/2 ⇒ T₀ =λm^1/2 k(^-1/2)

Dans le système international, la constante λ est déterminée expérimentalement, λ = 2π : soit : T₀ =2π√(m/k)

Dans cette expression, m est en kg, k en N.m^-1 et et T₀ en s