Activité
On considère le polynôme du second degré \(P\) défini par : \(P(x) =\) \(2x^2+4x-9\)
Question
1) Mettre \(2\) en facteur dans l'expression de \(P\).
2) Vérifier que \(x^2+2x =\) \((x+1)^2-1\).
3 ) Montrer que \(P\) peut s'écrire sous la \(2 [(x+1)^2-a^2 ]\) où a est un réel à déterminer.
4) Résoudre l'équation \(P(x)=0\).
Solution
1 ) Mettons \(2\) en facteur dans l'expression de \(P\) .
\(P(x)=\) \(2x^2+4x-9\)
\(= 2[x^2+2x- \dfrac{9}{2}]\)
2 ) Vérifions que \(x^2+2x = \) \((x+1)^2-1\)
\((x+1)^2-1 = \)\(x^2 +2 x+1-1= \)\(x^2 +2 x\)
3 ) Montrons que \(P\) peut s'écrire sous la \(2 [(x+1)^2-a^2 ]\) où a est un réel à déterminer.
\(P(x)= \) \(2x^2+4x-9\)
\(= 2[x^2+2x- \dfrac{9}{2}]\)
\(= 2[((x+1)^2-1)- \dfrac{9}{2}]\)
\(= 2[(x+1)^2- \dfrac{11}{2}]\)
\(= 2[(x+1)^2-( \sqrt{\dfrac{11}{2}} )^2 ]\)
d'où \(a =\dfrac{\sqrt{22}}{2}\)
4 ) Résolvons l'équation \(P(x)= 0\).
\(2[(x+1)^2- ( \dfrac{\sqrt{22}}{2})^2]=0\)
\((x+1- \dfrac{\sqrt{22}}{2} )(x+1+\dfrac{\sqrt{22}}{2}) =0\)
\(x+1-\dfrac{\sqrt{22}}{2}= 0\) ou \(x+1+\dfrac{\sqrt{22}}{2}= 0\)
\(x = -1+\dfrac{\sqrt{22}}{2}\) ou \(x = -1-\dfrac{\sqrt{22}}{2}\)
\(S_{IR}\) = {\(-1+\dfrac{\sqrt{22}}{2}\) ; \(-1-\dfrac{\sqrt{22}}{2}\)}