Mathématiques 2 nde C: Équations et inéquations du second degré.

a ) Forme canonique d'un polynôme du second degré.

Soit \(P\) un polynôme du second degré défini par \(P(x)=ax^2+bx+c\) ( avec a≠ 0 )

En mettant en facteur le coefficient de \(x^2 \)dans l'expression de \(P(x) \), on obtient:

\(P(x)\) =\(a(x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}\)) (1)

• \(x^2+\dfrac{b}{a }x\) est le début du développement de \((x+\dfrac{b}{2a})^2\).

En effet \((x+\dfrac{b}{2a})^2\) = \(x^2+\dfrac{b}{a }x +\dfrac{ b^2}{4a^2 }\) D'où \(x^2+\dfrac{b}{a }x\)=\((x+\dfrac{b}{2a})^2 - \dfrac{ b^2}{4a^2 }\) (2)

• En reportant l'expression (2) de \(x^2+\dfrac{b}{a} x\) dans (1), on obtient :

  \(P(x)\)= \(a[ (x+\dfrac{b}{2a})^2 - \dfrac{ b^2}{4a^2 }+\dfrac{c}{a}]\) =\(a[ (x+\dfrac{b}{2a})^2 - \dfrac{ b^2}{4a^2 }+\dfrac{4ac}{4a^2}]\) = \(a[(x+\dfrac{b}{2a})^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a^2 }]\).

• L'expression \(P(x)\) = \(a[(x+\dfrac{b}{2a})^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a^2 }]\)  s'appelle la forme canonique du second degré de \(P\).

Posons Δ = \(b^2-4ac\) est appelé discriminant du polynôme \(P\) ou de l'équation \(ax^2+bx+c=0\).

b ) Résolution de l'équation (E ) \(ax^2+bx+c=0\) ( avec a ≠ 0 )

On appelle équation du second degré dans \(IR\), toute équation de la forme \(ax^2+bx+c=0\) ; a , b et c sont des réels avec \(a≠0 ; x\) s'appelle l'inconnue.

\(ax^2+bx+c=0\) ⟺\(P(x)=0\) ⟺\(a[(x+\dfrac{b}{2a})^2-\dfrac{ Δ}{4a^2 }]\)  \(= 0\)⟺\([(x+\dfrac{b}{2a})^2-\dfrac{ Δ}{4a^2 }]\)  \(= 0\) car \(a≠0\)

Plusieurs cas se présentent :

• Si Δ <0 , l'équation (E ) n'a pas de solution.

• Si Δ=0, l'équation (E ) équivaut à \(( x+ \dfrac{b}{2a})^2= 0\). Elle admet une solution double qui est :

  \(x_1=x_2=\)\(\dfrac {-b}{2a}\).

• Si Δ  >0, l' équation ( E) admet deux solutions réelles distinctes :

\(x_1=\)\(\dfrac{-b-\sqrtΔ}{2a}\) et \(x_2=\) \(\dfrac{-b+\sqrtΔ}{2a}\).

c ) Etude du signe d'un polynome.

Factorisation d'un polynôme du second degré

Soit à mettre le polynôme \(P(x)\) = \(\) \(ax^2+bx+c\) ( a≠ 0 ) sous forme d'un produit de facteurs du premier degré .

Son discriminant est ∆ =\(b^2-4ac\)

• Si ∆ < 0 , alors \(P(x)\) ne peut pas être factorisé.

• Si ∆ = 0, alors \(P(x)\)=\( a (x+\dfrac{b}{2a})^2 = 0\).

• Si ∆ > 0, alors \(P (x)\) admet deux racines réelles distinctes \(x_1\) et \(x_2\). On a :

  \(P(x)\)= \(a (x-x_1)(x-x_2)\)

Signe d'un polynome du second degré

Soit le polynôme\(P(x)\)= \(ax^2+bx+c\)\(( a ≠ 0 )\). Son discriminant est \(Δ =b^2-4ac\).

• Si Δ  < 0 , \(P(x)\) est du signe de a pour tout réel \(x\).

• Si Δ = 0, \(P(x)\) est du signe de a pour tout réel \(x≠\) \(\dfrac{-b}{2 a}\).

• Si Δ > 0, \(P(x)\) est du signe de \(a\) à l'extérieur de ses racines et du signe contraire de \(a\)  entre ses racines.