La base de Frenet

Méthode

Il est parfois commode en particulier lorsque l'on connaît la trajectoire , d'exprimer le vecteur accélération d'un point mobile en fonction des vecteurs unitaires u ⃗ widevec {u} et n ⃗ widevec {n} de la base dite de Frenet:

u ⃗ widevec {u} est un vecteur unitaire porté par la tangente à la trajectoire en M, position du point ( u ⃗ widevec {u} est orienté de préférence dans le sens du mouvement du point mobile M).

n ⃗ widevec {n} est un vecteur unitaire perpendiculaire à u ⃗ widevec {u} et orienté vers l'intérieur de la concavité de la trajectoire.

Dans la base de Frenet, l'expression du vecteur vitesse relativement au repère par rapport auquel le mouvement est étudié est : v ⃗ = v ⋅ u ⃗ widevec {v}=v cdot vec u .

Le vecteur accélération est : a ⃗ = d v ⃗ dt = d ( v ⋅ u ⃗ ) dt = dv dt ⋅ u ⃗ + v ⋅ d u ⃗ dt vec a= {d vec v} over {dt} ={d (v cdot vec u)} over {dt}= {dv} over {dt} cdot vec u+v cdot { {d vec u} over dt} .

On montre que d u ⃗ dt = v R ⋅ n ⃗ {d vec u} over {dt} = {v} over {R} cdot vec n .

\(R\) est le rayon de courbure de la trajectoire. C'est le rayon du cercle tangent à la trajectoire en \(M\).

On a alors a ⃗ = d v dt ⋅ u ⃗ + v 2 R ⋅ n ⃗ widevec {a} = {d v} over {dt} cdot vec u+ {v^2} over {R} cdot vec n .

Le vecteur accélération a alors deux composantes :

  • Une composante tangentielle a t ⃗ = d v dt ⋅ u ⃗ widevec a_t = {d v} over {dt} cdot vec u : elle ne dépend que de la variation de la valeur de la vitesse.

  • Une composante normale a n ⃗ = v 2 R ⋅ n ⃗ widevec a_n = {v^2} over {R} cdot vec n : elle ne dépend que de la variation de la direction du vecteur vitesse.

1 R {1} over {R} exprime la courbure de la trajectoire : Lorsque \(R\) tend vers l'infini, 1 R {1} over {R} tend vers 0 et la trajectoire est rectiligne : une trajectoire rectiligne peut alors être considérée comme une trajectoire circulaire de rayon infini.

Fondamental

Il est important de distinguer la base de Frenet du repère par rapport auquel se fait l'étude du mouvement. Le repère est une donnée fondamentale pour étudier le mouvement tandis que la base de Frenet est une donnée technique qui simplifie les expressions de la vitesse et de l'accélération déterminées dans le repère.