Le vecteur vitesse

Le vecteur vitesse instantanée v ⃗ widevec {v} ou vecteur vitesse à l'instant \(t\) d'un point mobile \(M\) dans un repère a déjà été défini (en classe de seconde) comme le vecteur MM ' ⃗ t ' − t widevec {MM'} over {t'-t} déterminé entre les dates \(t\) et \(t'\), \(t'\) étant très proche de \(t\). On peut aussi écrire que v ⃗ = lim t ' → t MM ' ⃗ t ' − t widevec {v} = lim from{ t' toward t } {widevec{MM'} over {t'-t} } ou v ⃗ = lim t ' → t OM ' ⃗ − OM ⃗ t ' − t widevec {v} = lim from{ t' toward t } {{widevec{OM'}-widevec {OM}} over {t'-t} } (car MM ' ⃗ = OM ' ⃗ − OM ⃗ widevec {MM'}=widevec { OM' }-widevec { OM } )

Par définition d'une dérivée, lim t ' → t OM ' ⃗ − OM ⃗ t ' − t = d OM ⃗ dt lim from{ t' toward t } {{widevec{OM'}-widevec {OM}} over {t'-t} } = {d widevec OM} over {dt} où d OM ⃗ dt {d widevec OM} over {dt} est la dérivée par rapport au temps, du vecteur position OM ⃗ widevec {OM} à l'instant \(t\).

On a alors v ⃗ = d OM ⃗ dt vec v = {d widevec OM} over {dt} .

FondamentalVecteur vitesse

Dans un repère donné, le vecteur vitesse d'un point mobile \(M\) à un instant donné est la dérivée par rapport au temps, du vecteur position OM ⃗ widevec {OM} à cet instant.

RemarqueCoordonnées du vecteur vitesse

Ainsi, dans un repère cartésien à 3 dimensions par exemple, les coordonnées de OM ⃗ widevec {OM} et de v ⃗ widevec {v} sont :

OM ⃗ | x y z widevec{OM} left lline stack{x # y # z} right none et v ⃗ = d OM ⃗ dt | v x = dx dt v y = dy dt v z = dz dt vec v= {d widevec{OM}} over {dt} left lline stack{v_x= {dx} over {dt} # v_y= {dy} over {dt} # v_z= {dz} over {dt} } right none

Exemple

OM ⃗ | x = t 2 y = 3 t + 1 z = − 2 t widevec{OM} left lline stack{x=t^2 # y=3t+1 # z=-2t} right none ; v ⃗ = d OM ⃗ dt | v x = dx dt = 2 t v y = dy dt = 3 v z = dz dt = − 2 vec v= {d widevec{OM}} over {dt} left lline stack{v_x= {dx} over {dt} =2t # v_y= {dy} over {dt}=3 # v_z= {dz} over {dt}=-2 } right none