Cours de Philosophie Tle A : Logique et Mathématiques

• La Logique

La logique se présente comme une réflexion sur les lois qui régulent le discours valide. Elle permet de dégager les règles rigoureuses pour une utilisation féconde du langage. La logique détermine la cohérence du raisonnement et les conditions de la validité. Elle est purement formelle puisqu'elle ne nous donne aucune information sur la structure du monde ou de la nature. La vérité formelle porte sur la forme du discours et non sur le contenu. En ce sens, d'aucuns ont raison de dire de la logique qu'elle est stérile car elle ne nous apprend rien sur le plan matériel. Ce qui intéresse le logicien c'est le lien entre les propositions et les axiomes. Son unique objectif est de mesurer la validité ou la cohérence d'un raisonnement. Pour s'assurer de la validité des raisonnements émis, la logique procède par le respect des principes inhérents à cette science. Parmi les principes de la logique, on peut énumérer :

-Le principe d'identité : qui stipule qu'une chose considérée sous un même rapport est identique à elle-même (A=A). Autrement dit une chose est ce qu'elle est, ou que si qui est vrai est vrai. Par exemple, un homme est identique à lui-même, il ne saurait être identique à un autre homme.

-Le principe de la non-contradiction : Le respect du principe de non-contradiction assure une validité du raisonnement. Ce principe établit qu'une affirmation est soit vraie ou fausse et ne peut pas être les deux en même temps. Il est donc interdit d'affirmer simultanément une chose et son contraire. Par exemple si la proposition P est vraie, la proposition non P est fausse.

-Le principe du tiers-exclu : s'appuyant sur le principe précédent, il stipule qu'au même moment et sous le même rapport, toute proposition est admise ou non admise dans un système de propositions, une troisième possibilité est exclue. Par exemple si la porte est ouverte est vraie alors la porte est fermée est fausse. Au même moment, il n'y a pas d'autres possibilités.

• Les mathématiques

Les mathématiques sont une science formelle portant sur les figures, les nombres et les symboles algébriques. Les objets mathématiques sont abstraits, c'est-à-dire des pures constructions de l'esprit humain. Ce qui fait l'originalité d'une connaissance mathématique, c'est d'être établie à partir d'une démonstration. La démonstration est un raisonnement de l'esprit qui établit un résultat à partir des propositions antérieurement démontrées ou supposées vraies. En mathématiques, il est possible de parvenir par la démonstration à des résultats apodictiques, c'est-à-dire évidents et universellement admis. La démonstration mathématique se rapproche ainsi le plus près possible de l'idéal d'une démonstration parfaite. Pour élaborer son discours, le mathématicien a recours à la méthode hypothético-déductive qui consiste à poser au départ de la démonstration un postulat ou un axiome. L'axiome ou le postulat est une proposition non démontrée, donnée pour vraie, servant de fondements à un système de démonstration mathématique. C'est ce qui justifie l'usage des expressions mathématiques suivantes : « Posons..., Si..., Supposons.., Soit ... ».

• Rapport entre la Logique et les Mathématiques

La logique réfléchit sur les lois générales de la pensée, alors que les mathématiques portent sur les nombres, l'espace et l'ordre. Quoique différentes de par leur nature et de par leur objet d'étude, les mathématiques et la logique ne sont pas deux domaines parallèles. On peut identifier une sorte de pont jeté entre elles au point où l'évocation de l'une implique forcément l'autre. Ce qui est commun aux deux types de connaissances, c'est leur caractère abstrait. En effet, elles sont toutes deux fondamentalement des opérations intellectuelles qui se détachent de l'expérience sensible. En ce sens, elles sont dites sciences formelles. En outre, la logique tout comme les mathématiques sont animées par cette constante volonté de toujours apporter la preuve de ce qu'elles avancent, de toujours démontrer leurs propos. Elles sont des formes de discours cohérents et rigoureux. Enfin, l'exactitude et la précision dans les résultats sont propres à la logique et aux mathématiques. C'est la raison pour laquelle on les qualifie de « sciences exactes » par opposition aux sciences humaines qui sont probables comportant une bonne dose de subjectivité. Ces deux disciplines partagent des points communs à l'instar de la fascination qu'elles exercent depuis toujours sur les philosophes.Précisons aussi que la logique partage avec les mathématiques une communauté de langue et de structures. En effet, elles construisent des raisonnements en utilisant des symboles, en proposant des démonstrations et des théorèmes. Le raisonnement mathématique s'inspire de la cohérence et de la rigueur de la logique, ce qui a conduit certains à parler de la logicisation des mathématiques.

Par ailleurs, pour éviter les pièges du langage ordinaire préjudiciables à la logique, LEIBNIZ préconise de substituer les éléments sensibles du syllogisme d'Aristote par des symboles mathématiques (formalisme ou la logique de Leibniz ). Ce qui est appelé logique formelle par opposition à la logique classique d'Aristote se présente comme une sorte de mathématisation de la logique. Les penseurs contemporains dans l'objectif de rendre beaucoup plus formelle la logique vont avoir recours à des variables (P, Q ; R), à des connecteurs pour présenter un nouveau type de raisonnement logique.

Exemple 1 : Soit P une proposition et ˥ le connecteur de la négation 1 pour vrai et 0 pour faux : on obtient le tableau suivant

Exemple 2 : Soit P et Q deux propositions et ˄ le symbole de la conjonction, 1 pour vrai et 0 pour faux, on obtient le tableau suivant :

Exemple 3 : Soit P et Q deux propositions et V le symbole de l'alternative, 1 pour vrai et 0 pour faux, on obtient le tableau suivant :