JE DÉCOUVRE

Question

1) Soit \(P(x) = x^{2}+ 8x - 9\)

a) Sachant que \(x^{2} + 8x\) est le début du développement de \(( x +\frac{8}{2} )^{2}\) donc

\(x^{2}+8x = (x+\frac{8}{2})^{2} - (\frac{8}{2})^{2}\) ; écris \(P(x)\) sous la forme \(a^{2} - b^{2}\) ( avec \(a = x+4\)).

b) Factorise \(P(x)\) en utilisant l'écriture de la forme \(a^{2} - b^{2}\) trouvée en a).

c) Résous dans IR l'équation \(P(x) = 0\)

2) Soit \(Q(x) = x^{2} - 6x + 10.\)

a) En suivant la logique de \(P(x)\), écris aussi \(Q(x)\) sous la forme \(a^{2} + b^{2}\).

b) Peut-on factoriser \(Q(x)\) ? Pourquoi ?

c) Quel est le signe de \(Q(x)\) ?

3) Montre l'égalité \(ax^{2} + bx + c\) = \(a[(x+\frac{b}{2a})^{2} - \frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}].\)

Solution

1)

a) Si \(x^{2}+8x = (x+\frac{8}{2})^{2} - (\frac{8}{2})^{2}\) alors, \(x^{2}+8x-9 = (x+4)^{2}- 16 -9\) donc \(P(x) = (x+4)^{2} - 5^{2}\)

b) \(a^{2}\) - \(b^{2}\) = \((a-b) (a+b)\)

\((x+4)^{2} - 5^{2} = (x+4-5) (x+4+5)\) donc \(P(x) = (x-1)(x+9)\)

c) \(P(x) = 0\) ⇔ \(x - 1 = 0\) ou \(x + 9 = 0\) ⇔\( x = 1\) ou \(x = -9\) ⇔ S = { - 9 ; 1 }

2) \(Q(x) = x^{2} - 6x + 10\)

a) \(x^{2} - 6x = (x - 3)^{2} - 9\) donc \(x^{2} - 6x + 10 = (x-3)^{2} - 9 +10\) ⇔ \(Q(x) = (x-3)^{2}+1\)

b) La forme \(( x - 3)^{2} +1\) n'est pas une identité remarquable : on ne peut donc pas factoriser \(Q(x)\).

c) \(( x - 3)^{2} + 1\) est la somme de deux nombres positifs : \(Q(x)\) est donc positive.

3) \(a[(x+\frac{b}{2a})^{2} - \frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}]\) = \(a (x^{2}+\frac{b}{a} x+\frac{c}{a})\) = \(ax^{2} + bx + c\)